Question

如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．

（1）求直线及抛物线的方程；

（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，， ．问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直线的方程为，抛物线的方程为．（2）存在且

【解析】

试题分析：

（1）把点P的坐标带入抛物线方程即可求出抛物线方程,而直线l方程的求解有两种方法,法1,可以考虑求出既与抛物线相切,又与直线l平行的直线,该直线与直线l的距离即为抛物线上的点到直线l的最短距离,进而可以求的相应的b值。法二,可以设抛物线上任意一点为,列出点到直线l的距离公式,再利用二次函数的最值即可得到相应的b值。

（2）直线AB经过点Q且不经过P，所以直线AB斜率存在且利用点斜式设出直线方程,联立直线与抛物线方程,得到关于A,B横坐标或者纵坐标的韦达定理,进而利用AB直线的斜率表示PA，PB直线的斜率,再联立直线AB与直线l,用AB直线斜率表示PM直线的斜率,得到关于AB直线斜率的表达式,带入即可求的的值.

试题解析：

（1）（法一）点在抛物线上， ． 2分

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，

由 得，

，

由，得，则直线方程为．

两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，

有，解得或（舍去）．

直线的方程为，抛物线的方程为． 6分

（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为． 2分

设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，

，的最小值为，由，解得．

因此，直线的方程为，抛物线的方程为． 6分

（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由 得，

设点、的坐标分别为、，则，，

，， 9分

. 10分

由 得，，

， 13分

．

因此，存在实数，使得成立，且． 14分

考点：抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题