Question

已知函数．

（1）求在上的最大值；

（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；

（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．

Answer

（1）（2）或． （3）的最小值为．

【解析】

试题分析：

（1）利用导数可以求解函数单调性得到极值与最值,但是函数含有参数,故而需要讨论,首先对函数求定义域，求导可以发现导函数的分母恒大于0不影响导函数符号,故考虑分子大于0,小于0的解集,讨论a的范围得到区间的单调性,分析就可以得到原函数在固定区间上的最值.

（2）设出切点坐标,利用切点满足的三个条件（①切点在原函数上，坐标满足原函数方程 ②切点在切线上，坐标满足切线方程 ③原函数在切点处的导数为切线的斜率）建立关于a的方程，解方程求出a的值.

（3）由（2）的结论得到此时直线为曲线的切线,且分析原函数与切线的图像可以发现曲线在直线下方,即可以发现在区间上不等式恒成立,作差即可严格证明该不等式是成立的.利用该不等式对放缩为可求和的式子,进而求的的最值,得到的取值范围与最值.

试题解析：

（1）， 2分

令，解得（负值舍去），

由，解得．

（ⅰ）当时，由，得，

在上的最大值为． 3分

（ⅱ）当时，由，得，

在上的最大值为． 4分

（ⅲ）当时，在时，，在时，，

在上的最大值为． 5分

（2）设切点为，则 6分

由，有，化简得，

即或， ①

由，有，②

由①、②解得或． 9分

（3）当时，，

由（2）的结论直线为曲线的切线，

，点在直线上，

根据图像分析，曲线在直线下方． 10分

下面给出证明：当时，．

，

当时，，即． 12分

，

， ．

要使不等式恒成立，必须． 13分

又当时，满足条件，

且，

因此，的最小值为． 14分

考点：函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题