Question

如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，平面，，．

(1) 求证：平面平面；

(2) 若二面角为直二面角，求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】

试题分析：

（1）根据面面平行的判断，要证明平面平面AED，只需要证明面FCB内两条相交的直线FB,BC与面AED平行，而BF与ED平行，BC与AD平行，即可得到两相交直线都与面AED平行，进而得到面面平行.

（2）该题方法比较多，可以利用几何法和坐标法，在此重点解析几何法，延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知， ，,相交于，平面，为所求.

试题解析：

（1）矩形中， 1分

平面，平面,平面， 2分

同理平面, 3分

又 平面∥平面 4分

（2）取的中点.

由于面, ∥,

又是菱形， 是矩形，

所以，是全等三角形，

所以，就是二面角的平面角 8分

解法1（几何方法）：

延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知， ，,相交于，平面，为所求.

由,,得

等腰直角三角形中，,可得

直角三角形中,

解法2几何方法）：由，，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角. 12分

连结，设则在中，，，用余弦定理知 14分

解法3（向量方法）：以为原点，为轴、为轴

建立如图的直角坐标系，由则，

，平面的法向量， 12分

. 14分

考点：面面平行的证明 线面平行 二面角 直二面角 坐标法