Question

已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在的最大值为，求的值.

Answer

（1）在上是增函数 （2）

【解析】

试题分析：

（1）对函数求导，求导函数大于0和小于0的解集，该函数的导函数为二次函数，且含有参数，可以通过判断该二次函数的图像的开口零点个数等确定导函数大于0和小于0的解集，进而得到单调区间.

（2）通过(1)可以得到时，函数在区间[1,3]的单调性得到最大值求出8(并判断是否符合)，a<1时，继续通过讨论f(x)的导函数，通过对导函数(为二次函数)的开口 根的个数 根的大小与是否在区间[1,3]来确定原函数在区间[1,3]上的最值，进而得到a的值.

试题解析：

(1) .1分

其判别式，

因为， 所以， ，对任意实数， 恒成立，

所以，在上是增函数 .4分

（2）当时，由（1）可知，在上是增函数，所以在的最大值为，由，解得 （不符合，舍去） 6分

当时 ，，方程的两根为

， ， 8分

图象的对称轴

因为

（或）, 所以

由 解得

①当，，因为，所以 时，,在是函数，在的最大值，由，解得 （不符合，舍去）. 12分

②当，，，，在是减函数， 当时，，在是增函数.所以在的最大值或，由，，解得 （不符合，舍去）， 14分

综上所述

考点：导数 最值 单调性 二次函数