Question

已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、 、恰为等比数列，且，，.

（1）求数列的通项公式（用表示）；

（2）设数列的前项和为, 求证：（是正整数

Answer

（1） （2）见解析

【解析】

试题分析：

（1）由题得a1,a5,a17是成等比数列的，所以，则可以利用公差d和首项a来表示，进而得到d的值，得到an的通项公式.

（2）利用第一问可以求的等比数列、、 、中的前三项，得到该等比数列的通项公式，进而得到的通项公式，再利用分组求和法可得到Sn的表达式，可以发现为不可求和数列，所以需要把放缩成为可求和数列，考虑利用的二项式定理放缩证明，即，故求和即可证明原不等式.

试题解析：

（1）设数列的公差为，

由已知得，，成等比数列，

∴ ，且 2分

得或

∵ 已知为公差不为零

∴， 3分

∴. 4分

（2）由（1）知 ∴ 5分

而等比数列的公比.

∴ 6分

因此，

∵

∴ 7分

∴ 9分

∵当时，

∴（或用数学归纳法证明此不等式）

∴ 11分

∴当时，，不等式成立；

当时，

综上得不等式成立. 14分

法二∵当时，

∴（或用数学归纳法证明此不等式）

∴ 11分

∴当时，，不等式成立；

当时，，不等式成立；

当时，

综上得不等式成立. 14分

(法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得：

所以，时，，

时， 综上得不等式成立.

考点：放缩法 等差数列 等比数学 二项式定理 不等式