Question

设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．

（1）求的值；

（2）试判断圆与轴的位置关系；

（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1） （2）见解析 （3）存在

【解析】

试题分析：

（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.

（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.

（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.

试题解析：

【解析】
（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。 2分

（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为 3分

由得方程，

由直线与抛物线相切，得 4分

且，从而，即， 5分

由，解得， 6分

∴的中点的坐标为

圆心到轴距离，

∵

8分

∵，

∴当时，，圆与轴相切；

当时，，圆与轴相交； 9分

(或，以线段为直径圆的方程为:

令得

∴当时，，圆与轴相切；

当时，，圆与轴相交； 9分

（3）方法一：假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为， 10分

由（2）知，

∴ 。

由得，

所以，即或 13分

所以平面上存在定点，使得圆恒过点. 14分

证法二：由（2）知，，的中点的坐标为

所以圆的方程为 11分

整理得 12分

上式对任意均成立，

当且仅当，解得 13分

所以平面上存在定点，使得圆恒过点. 14分

考点：抛物线 直线与抛物线的位置关系 圆与直线的位置关系 向量内积