Question

在四棱锥中，，，，为的中点，为的中点，．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由为的中点，为的中点，可得,平面,那么由线面平行的判定可以得到；（2）取的中点,连结,由于,,所以,那么,故，又,平面,有平面,得到,即,从而得到平面,从而得到; （3）要求三棱锥的体积，由（2）有为三棱锥的高，利用体积公式求出即可.

试题解析：（1）因为为的中点，为的中点，则在的中，

又

则∥平面.

（2）证明:取中点，连接.

在中，，，

则,．

而，则在等腰三角形中 . ①

又在中，,

则∥

因为平面，平面，则，

又，即，则平面，所以

因此． ②

又，由①②知 平面．

故

（3）由（1）（2）知 , ，

因为平面， ∥，则平面

因此为三棱锥的高

而

故

考点：线面平行；线面垂直；棱锥的体积.