Question

已知函数，其中，

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）分别在上单调递增，在上单调递减；（3）不存在，使得.

【解析】

试题分析：（1）当时，，那么曲线在点处的切线的斜率，根据点斜式写出直线的方程为；（2）函数求导得，

由于函数的定义域是，因此只需要讨论分子在上的正负问题；（3）假设存在，使得，那么计算出，问题归结为是否成立，可设函数， ，所以在上单调递增，因此不存在，使得.

试题解析：（1）当时，，所以

， ，

又因为切线过，所以切线方程为

（2）的定义域为，

令，其判别式

①当，故上单调递增

② 当，的两根都小于0，在上，，故上单调递增．

③当，设的两根为，

当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．

（3）由（2）可知：当在上有两个极值点

因为

所以

由（2）可知：，于是，

若存在，使得，则，即，

亦即

设函数，

当时， ，所以在上单调递增，

而，所以，

这与式矛盾．故不存在，使得

考点：曲线在点的切线方程；函数的点调性；函数的极值点综合.