Question

如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.

（1）求的取值范围；（运算中取）

（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

Answer

(1) ,(2) .

【解析】

试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.

试题解析：（1）由题意得， 4分

解得即. 7分

（2）记“环岛”的整体造价为元，则由题意得

， 10分

令，则，

由，解得或， 12分

列表如下：

9

(9,10)

10

(10,15)

15

－

0

＋

0

↘

极小值

↗

所以当，取最小值.

答：当时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分

考点：利用导数求最值，解不等式.