Question

在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点的坐标为，试求直线的方程；

（3）记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1），（2），（3）.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆定义：点到两个焦点距离和为，求出的值，再由求出的值，就可得到椭圆的标准方程（2）由点关于坐标原点的对称点为，可直接写出点坐标；又由点及，可得直线方程，再由方程与椭圆方程解出A点坐标，根据两点式就可写出直线的方程，（3）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，先根据直线AB垂直轴的特殊情况下探求的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值.本题难点在如何利用条件消去参数. 点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键.

试题解析：（1）由题意，得，即， 2分

又，，椭圆的标准方程为. 5分

（2），，又， ，

直线：， 7分

联立方程组，解得， 9分

直线：，即. 10分

（3）当不存在时，易得,

当存在时，设，，则，

，，两式相减， 得，

，令，则， 12分

直线方程：，，

，直线方程：，， 14分

，又，，

，所以为定值. 16分

考点：椭圆定义，消参数，点差法.