Question

设等差数列的前项和为，已知，.

（1）求；

（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.

①当取最小值时，求的通项公式；

②若关于的不等式有解，试求的值.

Answer

（1），（2）①，②

【解析】

试题分析：（1）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式求出公差d即可，（2）①利用等比数列每一项都为等差数列中项这一限制条件，对公比逐步进行验证、取舍，直到满足.因为研究的是取最小值时的通项公式，因此可从第二项开始进行验证，首先满足的就是所求的公比，②由①易得与的函数关系，并由为正整数初步限制取值范围，当且时适合题意，当且时，不合题意.再由不等式有解，归纳猜想并证明取值范围为本题难点是如何说明当时不等式即无解，可借助研究数列单调性的方法进行说明.

试题解析：（1）设等差数列的公差为，则，解得， 2分

所以. 4分

（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，

若，则由，得，此时，由，

解得，所以，同理； 6分

若，则由，得，此时，

另一方面，，所以，即， 8分

所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比．

所以． 10分

（3）因为，得，而，

所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；

当且时，不全是正整数，不合题意.

而有解，所以有解，经检验，当，，时，都是的解，适合题意； 12分

下证当时，无解, 设，

则，

因为，所以在上递减，

又因为，所以恒成立，所以，所以恒成立，

又因为当时，，所以当时，无解. 15分

综上所述，的取值为 16分

考点：等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n项和公式，数列单调性.