Question

已知函数，.

（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？

（2）当时，求函数的单调减区间；

（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.

Answer

（1）且，（2）当时，函数的减区间为，；

当时，函数的减区间为；当时，函数的减区间为，，（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据导数几何意义分别求出曲线与在处的切线斜率，再根据两者相等得到，满足的条件，易错点不要忽视列出题中已知条件，（2）求函数的单调减区间，一是求出函数的导数，二是判断对应区间的导数值符号.本题难点在于导数为零时根的大小不确定，需根据根的大小关系分别讨论单调减区间情况，尤其不能忽视两根相等的情况，（3）本题恒成立转化为函数最小值不小于零，难点是求函数的最小值时须分类讨论，且每类否定的方法为举例说明.另外，本题易想到用变量分离法，但会面临问题，而这需要高等数学知识.

试题解析：（1），，又，

在处的切线方程为， 2分

又，，又，在处的切线方程为，

所以当且时，曲线与在处总有相同的切线 4分

（2）由，，，

， 7分

由，得，，

当时，函数的减区间为，；

当时，函数的减区间为；

当时，函数的减区间为，. 10分

（3）由，则，，

①当时，，函数在单调递增，

又， 时，，与函数矛盾， 12分

②当时，，；，

函数在单调递减；单调递增，

（Ⅰ）当时，，又，，与函数矛盾，

（Ⅱ）当时，同理，与函数矛盾，

（Ⅲ）当时，，函数在单调递减；单调递增，

，故满足题意.

综上所述，的取值的集合为. 16分

考点：利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立.