如图，
，
是半径为
的圆
的两条弦，它们相交于
的中点
，若
， 
，求
的长.
设等差数列
的前
项和为
，已知
，
.
（1）求
；
（2）若从
中抽取一个公比为
的等比数列
，其中
，且
，
.
①当
取最小值时，求
的通项公式；
②若关于
的不等式
有解，试求
的值.
已知函数
，
.
（1）若
，则
，
满足什么条件时，曲线
与
在
处总有相同的切线？
（2）当
时，求函数
的单调减区间；
（3）当
时，若
对任意的
恒成立，求
的取值的集合.
在平面直角坐标系
中，已知过点
的椭圆
：
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
，
两点，点
关于坐标原点的对称点为
，直线
，
分别交椭圆
的右准线
于
，
两点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若点
的坐标为
，试求直线
的方程；
（3）记
，
两点的纵坐标分别为
，
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
如图，现要在边长为
的正方形
内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为
（
不小于
）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为
的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于
，绕岛行驶的路宽均不小于
.
（1）求
的取值范围；（运算中
取
）
（2）若中间草地的造价为
元
，四个花坛的造价为
元
，其余区域的造价为
元
，当
取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
如图，在正三棱柱
中，
，
分别为
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
.
