Question

设是给定的正整数，有序数组（）中或.

（1）求满足“对任意的，，都有”的有序数组（）的个数；

（2）若对任意的，，，都有成立，求满足“存在，使得”的有序数组（）的个数.

Answer

（1），（2）.

【解析】

试题分析：

（1）正确理解每一偶数项与前相邻奇数项是相反数，而与后相邻奇数项相等或相反；因此分组按（奇、偶）分为组，每组有2种可能，各组可能互不影响，共有种可能，

（2）在（1）的基础上，某些组可能为（2,2）或（-2，-2），需讨论这些组个数的情况，最少一个，最多个.另外条件“对任意的，，，都有成立”控制不能出现各组都为2或-2的情况，而是间隔出现（2,2）、（-2，-2）.

试题解析：

【解析】
（1）因为对任意的，都有，则或

共有种，所以共有种不同的选择，所以. 5分

（2）当存在一个时，那么这一组有种，其余的由（1）知有，所有共有；

当存在二个时，因为条件对任意的,都有成立得这两组共有，

其余的由（1）知有，所有共有；

依次类推得：. 10分

考点：分步（乘法）计数原理，二项式定理应用.