Question

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

Answer

（1） （2） ，

【解析】

试题分析：（1） 解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题解题思路清晰，就是根据扇环面的周长列函数关系式， 因为扇环面的周长为两段弧长加两段直线，利用弧长公式，得所以 ，（2） 本题解题思路清晰，就是根据花坛的面积与装饰总费用的比列函数关系式，再由导数或基本不等式求最值. 装饰总费用为直线部分的装饰费用与弧线部分的装饰费用之和，而花坛的面积为大扇形面积与小扇形面积之差，求最值时要注意定义域范围的限制.

试题解析：（1）设扇环的圆心角为，则，所以， 4分

（2） 花坛的面积为． 7分

装饰总费用为， 9分

所以花坛的面积与装饰总费用的， 12分

令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．

答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 15分

考点：函数关系式，弧长公式，基本不等式求最值