Question

如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.

（1）求椭圆方程；

（2）设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为. ①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长；

②设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

Answer

（1） （2） ①②

【解析】

试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件，由可得值，（2） ①求圆被直线所截得弦长时，利用半径、半弦长、圆心到直线距离三者成勾股列等量关系，先分别确定直线的方程与圆K的方程，②证明直线与轴的交点为定点,实质为求直线与轴的交点. 由①知，点是关键点，不妨设点的坐标作为参数，先表示直线的方程，与圆的方程联立解出点P的坐标.由得直线的斜率，从而得直线的方程，再令,得点R的横坐标为，利用点M满足化简得

试题解析：（1）由，解得，故

（2）①因为,所以直线的方程为，

从而的方程为 6分

又直线的方程为,故圆心到直线的距离为 8分

从而截直线所得的弦长为 9分

②证:设,则直线的方程为,则点P的坐标为,

又直线的斜率为,而,

所以,从而直线的方程为 12分

令,得点R的横坐标为 13分

又点M在椭圆上,所以,即,故,

所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为 15分

考点：椭圆方程，直线与圆锥曲线位置关系，圆的弦长