Question

已知函数,其中.

（1）当时,求函数在处的切线方程；

（2）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围；

（3）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值．

Answer

（1） （2） （3）

【解析】

试题分析：（1） 利用导数求切线方程,关键在于理解切点的三个含义,一是在切点处的导数值为切线的斜率,二是切点在曲线上,即切点坐标满足曲线方程,三是切点在直线上,即切点坐标满足直线方程,有时这一条件用直线两点间斜率公式表示.因为所以,再根据点斜式写出切线方程. （2）利用导数研究函数单调性,往往转化为研究导函数为零时方程根的情况,本题函数在区间(1,2)上不是单调函数,就转化为在区间(1,2)上有不相等的根,可由实根分布列充要条件,也可利用变量分离结合图象求函数对应区域范围,（3）已知函数最值求参数取值范围，可从恒成立角度出发，实现等价转化，也可分类讨论求最值列等式.本题采取对恒成立较好.转化为二次函数恒成立可从四个方面研究：一是开口方向，二是对称轴，三是判别式，四是区间端点函数值的正负.

试题解析：（1）解:当时,,则,故 2分

又切点为,故所求切线方程为,即 4分

（2）由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,

由,得,因为,所以 7分令,则,故在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而的取值范围是 9分

（3）,

由题意知对恒成立,即对恒成立,即 ①对恒成立 11分

当时,①式显然成立;

当时,①式可化为 ②,

令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 13分

即,其等价于 ③ ,

因为③在时有解,所以,解得,

从而的最大值为 16分

考点：利用导数求切线方程，利用导数研究函数单调性，不等式恒成立.