Question

已知数列满足，，，是数列 的前项和．

（1）若数列为等差数列．

①求数列的通项；

②若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）①

②当或时，；当或时，；当时，

（2）

【解析】

试题分析：（1） 解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.①从与关系出发，得出，利用解出，从而解出首项与公差，② 实际是一个等比数列，分别求出数列 前项和与前项和 ，要使计算简便，需用 表示 ，比较两者大小通常用作差法. 作差法的关键是因式分解，将差分解为因子，根据因子的符号讨论差的正负，从而确定大小，（2） 不等式恒成立问题，首先化简不等式. 需从与关系出发，得出项的关系：，这是三项之间的关系，需继续化简成两项之间关系：，这样原数列分解为三个等差数列，则恒成立等价转化为且，代入可解得

试题解析：【解析】
（1）因为，所以，

即，又，所以， 2分

①又因为数列成等差数列，所以，即，解得，

所以； 4分

②因为，所以，其前项和，

又因为， 5分

所以其前项和，所以， 7分

当或时，；当或时，；

当时， 9分

（2）由知，

两式作差，得， 10分

所以,作差得， 11分

所以，当时，；

当时，；

当时，；

当时，； 14分

因为对任意，恒成立，所以且，

所以，解得，，故实数的取值范围为． 16分

考点：等差数列通项，等比数列求和，不等式恒成立