Question

如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，∥ＡＥ，，,分别为的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

Answer

（1） ，（2）

【解析】

试题分析：（1）求空间角，一般利用空间向量解决.首先要建立恰当的空间直角坐标系，由平面平面及，运用面面垂直性质定理，可得，这样确定竖坐标.横坐标与纵坐标可根据右手系建立.因为异面直线与所成角等于向量与夹角或其补角，而异面直线与所成角范围为，所以 ，（2） 直线和平面所成角与向量与平面法向量夹角互余或相差，而直线和平面所成角范围为，所以.

试题解析：

∵，又∵面面，面面，

，∴，∵BD∥AE，∴， 2分

如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵，∴设各点坐标为，，，，，

则，，，

，，.

（1），

则与所成角为. 5分

（2）设平面ODM的法向量，则由，且可得

令，则，，∴，设直线CD和平面ODM所成角为，则

，

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为． 10分

考点：利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角.