Question

在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且的三边所在直线的斜率满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点，问：是否存在点，使得和的面积满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（且）,（2）

【解析】

试题分析：（1）点的轨迹的方程,就是找出点横坐标与纵坐标的关系式，而条件中只有点为未知，可直接利用斜率公式化简,得点的轨迹的方程为，求出轨迹的方程后需结合变形过程及观察图像进行去杂，本题中分母不为零是限制条件，（2）本题难点在于对条件的转化，首先条件说明的是，其次条件揭示的是，两者结合转化为条件，到此原题就转化为：已知斜率为的过点直线被抛物线截得弦长为，求点的坐标.

试题解析：

（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，

，整理得轨迹的方程为（且）． 3分

（2）:学设由可知直线，

则，故，即， 5分

直线OP方程为： ①；直线QA的斜率为：，

∴直线QA方程为：，即 ②

联立①②，得，∴点M的横坐标为定值． 8分

由，得到，因为，所以，

由，得，∴的坐标为．

∴存在点P满足，的坐标为． 10分

考点：轨迹方程，直线与抛物线位置关系