Question

已知的三个顶点，，，其外接圆为．

(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；

(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．

Answer

（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.

试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为． 4分

设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．

当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求； 6分

当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，

综上，直线的方程为或． 8分

(2) 直线的方程为，设，

因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，

所以即 10分

因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以， 12分

又，所以对]成立．

而在[0，1]上的值域为[，10]，故且． 15分

又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为． 16分

考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.