Question

已知数列满足，，，是数列 的前项和．

(1)若数列为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项；

（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）（ⅰ）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数列求出的值，最后可求出的通项公式，（ⅱ）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号和和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围．

试题解析：(1)（ⅰ）因为，所以，

即，又，所以， 2分

又因为数列成等差数列，所以，即，解得，

所以； 4分

（ⅱ）因为，所以，其前项和，

又因为， 5分

所以其前项和，所以， 7分

当或时，；当或时，；

当时，． 9分

（2）由知，

两式作差，得， 10分

所以,

再作差得， 11分

所以，当时，；

当时，；

当时，；

当时，； 14分

因为对任意，恒成立，所以且，

所以，解得，，故实数的取值范围为． 16分

考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.