Question

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

Answer

（1）；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用与表示后，利用其和为30列式，再解出即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用与表示，再利用第（1）问的结果消去，从而可得到关于函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定取最小值时的值.

试题解析：(1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得

，所以， 4分

(2) 花坛的面积为． 7分

装饰总费用为， 9分

所以花坛的面积与装饰总费用的比， 11分

令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．

答：当x＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 14分

(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)

考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用.