Question

如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：

（1）PA∥平面MDB；

（2）PD⊥BC．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M为PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直. 如本题中面PCD与面ABCD垂直，就转化为BC平面PCD，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互垂直.

试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OM. 2分

因为M为PC中点,O为AC中点，

所以MO//PA. 4分

因为MO平面MDB，PA平面MDB,

所以PA//平面MDB. 7分

（2）因为平面PCD平面ABCD,

平面PCD平面ABCD=CD,

BC平面ABCD,BCCD,

所以BC平面PCD. 12分

因为PD平面PCD,

所以BCPD 14分

考点：直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.