Question

甲、乙两地相距1000，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．

（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？

Answer

(1) , (2) 当（元）时，；当（元）时，.

【解析】

试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题中全程运输成本等于每小时运输成本与全程所化时间的乘积，有学生错误将每小时运输成本理解为全程运输成本，其次要注意定义域的确定，不仅要从保证数学式子的有意义考虑，而且更要结合实际意义考虑，如本题速度为正数，（2）研究对应解析式的最值问题，一般从不等式或函数考虑，从不等式考虑时，要会将解析式转为“和”与“积”的关系，注意等于号是否取到，而从函数考虑时，经常结合导数进行研究.本题不管从不等式考虑还是从函数考虑，都需进行讨论，讨论的原因都是因为定义域.

试题解析：（1）可变成本为，固定成本为元，所用时间为.

，即 4分

定义域为 5分

（2）

令得 7分

因为

所以当即时，为的减函数，

在时，最小. 9分

所以当，即时，

极小值

在时，最小. 13分

(答)以上说明，当（元）时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小；当（元）时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小. 14分

考点：函数解析式，利用导数求函数最值.