Question

设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，=0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积．

（1）求概率P（=0）；

（2）求的分布列，并求其数学期望E ()．

Answer

（1）

（2）

【解析】

试题分析：（1）求概率P（= 0），就是求四点共面时概率.古典概型概率的求法，关键要找出所包含的基本事件个数，然后套用公式

（2）求的数学期望的基本步骤：首先理解的意义，写出可能取的全部值，本题考虑四个顶点不同位置，求体积；其次求取各个值的概率，写出概率分布；最后根据概率分布，由数学期望的定义求出

试题解析：（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有种不同取法.

其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面).

则 3分

（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:

①四点在相对面且异面的对角线上,体积为

这样的取法共有2种. 5分

②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为

这样的取法共有种 7分

的分布列为

8分

数学期望 10分

考点：概率，数学期望，随机变量的概率分布列.