Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，交于点．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，注意到已知，可想到证明面，只需证明，或，但位置不确定，可考虑证，由已知点是的中点，已知，故，而四棱锥的底面是正方形，底面，故面，这样能得到面，从而得，问题得证；（2）求三棱锥的体积，由于是的中点，则，这样转化为求，由图可知，容易求出．

试题解析：（1）∵底面，∴

又∴面

∴······① 3分

又，且是的中点，∴·········②

由①②得面 ∴

又 ∴面

∴平面平面 6分

（2）∵是的中点，∴. 9分

12分

考点：面面垂直，几何体的体积．