Question

已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的

对称点为A₁．求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

Answer

（1）；（2）定点（1，0）．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆C的方程，由题意，焦点坐标为，可求得，再根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．由等边三角形的性质，可求得和的关系式，可求得，进而求得，则椭圆的方程可得；（2）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标．这是过定点问题，这类题的处理方法有两种，一．可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．二．从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．本题可设直线的方程为：，与椭圆方程联立消去，设出，，则可利用韦达定理求得和的表达式，根据点坐标求得关于轴对称的点的坐标，设出定点，利用求得，从而得证．

试题解析：（1）椭圆C：的一个焦点是（1，0），所以半焦距，又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；· ５分

（2）设直线：与联立并消去得：

.

记，，，

. 8分

由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为（，0），

得，即.

所以

即定点（1，0）. 13分

考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．