Question

已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.

（1）求抛物线C的方程;

（2）过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.

Answer

（1）抛物线C的方程为；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）求抛物线C的方程，只需求出的值即可，由已知可知直线与轴的交点为抛物线C的焦点，又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交点，设交点为，则，故，即，解得，从而可得抛物线C的方程；（2）,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动，找出交点点的坐标即可，故需求出过两点的切线的方程，而与有关，故可设出直线AB的方程为（斜率一定存在），再设出,，利用三点共线可得，，再由导数的几何意义，求出斜率，得过点的切线方程为:，过点的切线方程为:，解出，结合，得，即得，从而得证。

试题解析：（1）直线与轴的交点为抛物线C的焦点,又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交点,,

所以抛物线C的方程为

（2）由题意知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为,

又设,

共线,,

,,同理可求

,过点的切线的斜率为,切线方程为:,

同理得过点的切线方程为:,联立得:

由

,即点Q在定直线上运动.

考点：抛物线方程，直线与抛物线的综合问题．