Question

已知函数.

（1）当时,求函数的单调区间;

（2）若函数有两个极值点,且,求证:;

（Ⅲ）设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）的递增区间为和,递减区间为；（2）详见解析；（Ⅲ）实数的取值范围为．

【解析】

试题分析：（1）当时,求函数的单调区间，由于函数含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，由函数，对求导得，，令，，解不等式得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点,且,求证:，由于有两个极值点,则有两个不等的实根，由根与系数关系可得，，用表示，代入，利用即可证明；（Ⅲ）对于任意时,总存在,使成立，即恒成立，因此求出，这样问题转化为，在上恒成立，构造函数，分类讨论可求出实数的取值范围．

试题解析：

（1）当时,,

令或,,

的递增区间为和,递减区间为.

（2）由于有两个极值点,则有两个不等的实根,

设

,在上递减,

,即.

（Ⅲ）,

,,在递增,

,

在上恒成立

令,

则在上恒成立

,又

当时，,在(2,4)递减,,不合;

当时,,

①时,在(2,)递减,存在,不合;

②时, 在(2,4)递增,,满足.

综上, 实数的取值范围为.

考点：函数的单调性，极值，函数的导数与不等式的综合问题．