Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过、两点

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线交双曲线于、两点，且线段被圆：三等分，求实数、的值

Answer

（1）；（2），

【解析】

试题分析：（1）求双曲线的方程，可设双曲线的方程是，利用待定系数法求出的值即可，由双曲线经过、两点，将、代入上面方程得，，解方程组，求出的值，即可求出双曲线的方程；（2）求实数、的值，直线交双曲线于、两点，且线段被圆：三等分，可知圆心与的中点垂直，设的中点，则，而圆心，因此只需找出的中点与的关系，可将代人，得，设，利用根与系数关系及中点坐标公式得，这样可求得的值，由的值可求出的长，从而得圆的弦长，利用勾股定理可求得的值

试题解析：（1）设双曲线的方程是，依题意有 2分

解得 3分 所以所求双曲线的方程是 4分

（2）将代人，得 （*）

6分

设，的中点，则

， 7分

则，， 8分

又圆心，依题意，故，即 9分

将代人（*）得，解得

10分

故直线截圆所得弦长为，又到直线的距离 11分

所以圆的半径

所以圆的方程是 12分

， 13分

考点：求双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，圆的性质