Question

已知函数，

（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数、的值；

（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；

（3）若，，且曲线与总存在公切线，求正实数的最小值

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）正实数的最小值为1

【解析】

试题分析：（1）求实数、的值，因为曲线与在公共点处有相同的切线，由导数的几何意义可得，，解出即可；（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一，可设，由题设得，，转化为关于的方程只有一解，进而构造函数，转化为函数只有一个零点，可利用导数即可证明；（3）设曲线在点处的切线方程为，则只需使该切线相切即可，也即方程组只有一解即可，所以消后，问题转化关于的方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得值最小值

试题解析：（1）， ∵曲线与在公共点处有相同的切线∴ ， 解得， 3分

（2）设，则由题设有 ①又在点有共同的切线

∴代入①得 5分

设，则，

∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，

从而，结合（1）可知，满足题设的点只能是 7分

（3）当，时，，，

曲线在点处的切线方程为，即

由，得

∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，

即 总有解 9分

若，则，而，显然不成立，所以 10分

从而，方程可化为

令，则

∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增 ∴在的最小值为，

所以，要使方程有解，只须，即 14分

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程