Question

某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学
人数

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.

（1）问四所中学各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生自同一所中学的概率；

（3）在参加问卷调查的名学生中，从自两所中学的学生当中随机抽取两名学

生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列和期望.

Answer

（1） 从四所中学抽取的学生人数分别为；（2） 这两名学生自同一所中学的概率为，（3）的分布列为：

1

.

【解析】

试题分析：（1） 由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．据此即可计算出答案；（2） 利用组合的意义分别计算出从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的方法和这两名学生来自同一所中学的取法，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（3）由（1） 知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．可得ξ的可能取值为0，1，2．利用超几何分布的概率计算公式，即可得到分布列，利用数学期望的概率计算公式即可得出．

试题解析：（1） 由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为.

∴应从四所中学抽取的学生人数分别为. 4分

（2） （2） 设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生自同一所中学”为事件，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生随机抽取两名学生的取法有种，这两名学生来自同一所中学的取法有，所以．从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生自同一所中学的概率； ７分

（3）由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，自两所中学的学生人数分别

为.

依题意得，的可能取值为， 8分

， ，. 11分

∴的分布列为：

1

12分

考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．