Question

已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为F₁(0,3)，M(x,4)(x＞0)为椭圆C上一点，△MOF₁的面积为.

（1） 求椭圆C的方程；

（2） 是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1） （2） 符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或.

【解析】

试题分析：（1） 求椭圆C的方程，根据椭圆的焦点为，可得椭圆的方程为，利用椭圆上一点，利用的面积为，可求出的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，即可确定椭圆的方程；（2） 这是探索性命题，可假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点，得，利用即可求得结论．

试题解析：（1） 因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，

所以b2＝a2＋9.

则椭圆C的方程为＋＝1.

因为x＞0，所以＝×3×x＝，解得x＝1.

故点M的坐标为(1,4)．

因为M(1,4)在椭圆上，

所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，

则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为. 6分

（2） 假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．

由消去y化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.

进而得到x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，

所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)＞0，

化简得m2＜162，解得－9＜m＜9.

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以＝0，

所以x1x2＋y1y2＝0.

又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，

x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0.

解得m＝±.

由于±∈(－9，9)，

所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋或y＝4x－. 13分

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．