Question

已知是椭圆E：的两个焦点，抛物线的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝上到焦点F₁，F₂距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）如图，过点的动直线交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）椭圆方程为；（Ⅱ）存在定点M，使以为直径的圆恒过这个定点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆E的方程，可用待定系数法求方程，因为抛物线的焦点为，故可得椭圆E：的两个焦点，即，由题意直线y＝上到焦点F1，F2距离之和最小，可用对称法求最小值，即求出点关于直线的对称点为最小值为，此时的点P恰好在椭圆E上，故，可得，从而得，这样就得椭圆E的方程；（Ⅱ）这是探索性命题，可假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点，此时当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为：，当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为：，解得两圆公共点．因此所求的点如果存在，只能是．由此能够导出以AB为直径的圆恒过定点M．

试题解析：（Ⅰ）由抛物线的焦点可得：，

点关于直线的对称点为

故，

因此，椭圆方程为。（4分）

（Ⅱ）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。

当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为： …………… ①

当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为： …………②

由①②知定点M。（6分）

下证：以AB为直径的圆恒过定点M。

设直线，代入，有。

设，则。

则，

在轴上存在定点M，使以为直径的圆恒过这个定点。（14分）

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．