Question

已知三棱柱中，平面⊥平面ABC，BC⊥AC，D为AC的中点，AC＝BC＝AA₁＝A₁C＝2。

（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；

（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值。

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC，只需证垂直平面内两条线即可，由于平面平面，，可得，由题意可得，四边形是菱形，由菱形对角线性质可知，，从而可得平面，也可利用向量法，即如图以为轴建立空间直角坐标系，由 知，即可得平面；（Ⅱ）求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值，可用传统方法，找二面角的平面角，设，作于，连接，则为二面角的平面角，从而求得两平面夹角的余弦值为，还可以利用向量来求，即找出两个平面的法向量，利用法向量的夹角平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．

试题解析：解法一：

（Ⅰ）由于平面平面，，所以面，所以。(2分)

而是菱形，因此，所以平面。（4分）

（Ⅱ）设，作于，连接，

由（1）知平面，即平面，所以

又于，因此，

所以为二面角的平面角，（8分）

在中，，，故直角边，

又因为中斜边 因此中斜边，

所以，所以所求两平面夹角的余弦值为。（12分）

解法二：

如图，取的中点，则，

因为，所以，又平面，（2分）

以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

（Ⅰ），，，

由 知， （5分）

又，从而平面；（6分）

（Ⅱ）由（1）知平面的一个法向量为，

再设平面的法向量为，，，

所以，设，则，

故

因此所求两平面夹角的余弦值为。(12分）

考点：线面垂直，求二面角．