Question

已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，点G在椭圆C上，且，的面积为3.

（1）求椭圆C的方程：

（2）设椭圆的左、右顶点为A，B，过的直线与椭圆交于不同的两点M，N（不同于点A，B），探索直线AM，BN的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（1）；（2）直线AM，BN的交点必在一条垂直于轴的定直线上，这条直线的方程是．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的方程，由椭圆的离心率为，得，，由得，，得得，即，由的面积为3，得，由于，可得，即，可求出，从而可得，即得椭圆的方程；（2）这是探索性命题，由于探索直线AM，BN的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，可有特例求出定直线，然后验证一般情况，故当直线的斜率不存在时，直线：，直线与椭圆Ｃ的交点坐标，，写出直线的方程，解交点坐标为，它在垂直于轴的直线上，然后验证当直线的斜率存在时，交点必在直线上即可，因此设直线，代入椭圆Ｃ的方程，设，利用根与系数关系，得关系式，再写出直线的方程，消去，解方程得即可．

试题解析：（1）设，由于，所以，

根据，得，即，

因为的面积为３，，所以，

所以有，解得，所以，

所以椭圆才Ｃ的方程为。 5分

（２）由（１）知。

①当直线的斜率不存在时，直线：，直线与椭圆Ｃ的交点坐标，，此时直线，联立两直线方程，解得两直线的交点坐标（４，３）。它在垂直于轴的直线上。 7分

②当直线的斜率存在时，

设直线，代入椭圆Ｃ的方程，整理得，设直线与椭圆Ｃ的交点，则。

直线AM的方程为，即，

直线BN的方程为，即

由直线AM与直线BN的方程消去，得

所以直线AM与直线BN的交点在直线上。 12分

综上所述，直线AM，BN的交点必在一条垂直于轴的定直线上，这条直线的方程是． 13分

考点：椭圆方程，直线与二次曲线位置关系，定值问题．