Question

已知函数，．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．

Answer

(1) 函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，；(2) 实数的取值范围；(3) 详见解析．

【解析】

试题分析：（1）若，求函数的单调区间，由于含有对数式，可求出导数，在定义域内解不等式，即得函数单调区间；（2）恒成立，这是恒成立求参数范围，常采用分离常数法，故本题分离出参数后变为恒成立，构造函数，则问题转化为，利用导数可求得，从而得实数的取值范围；（3）证明：，由已知，可得，进而可变形为，只需证明，设，其中，用导数可判断，又，可得结论．

试题解析：(1)当时，函数，

则．

当时，，当时，1，

则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，． 4分

(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而． 8分

(3)，．

因为对任意的总存在，使得成立，

所以， 即，

即

． 12分

设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又．

所以，即． 14分

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．