Question

若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列．

(1)求和的值；

(2)ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若是函数图象的一个对称中心，且a=4，求ABC面积的最大值．

Answer

(1) (2)

【解析】

试题分析：(1)依次利用余弦降幂、正弦倍角,辅助角公式化简函数f(x),得到f(x)的最简形式,根据相切且切点有无数多个的条件可得为函数f(x)的最值(m>0即为最大值),从而求的m的值，再根据最值之间的距离即为函数f(x)的周期(即周期为),从而求的a的值.

(2)从正弦函数的图像可以分析得到图像的对称中心在正弦函数图像上,故带入函数即可得到A角的值,再利用余弦定理与基本不等式求出bc的最值,从而得到三角形面积的最值.

试题解析：（1）= 3分

由题意，函数的周期为，且最大（或最小）值为，而,

所以， 6分

（2）∵（是函数图象的一个对称中心 ∴

又因为A为⊿ABC的内角，所以 9分

则,再由角A的余弦定理得,则(基本不等式),所以,综上当且仅当时,的面积取得最大值. 12分

考点：三角函数 三角形余弦定理 基本不等式