Question

某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

(1)分别求第3，4，5组的频率；

(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；

(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望．

Answer

(1)0.3 0.2 0.1 (2) (3)

【解析】

试题分析： (1)由频率分布直方图的横坐标得到组距,纵坐标得到每组的频率/组距,故而每组的频率即为纵坐标与组距的乘积.

(2)分层抽样就是在保持每个个体入样的可能性相等的条件下把样本容量分摊到每一层,即样本容量与总体数量之比与某层抽样个数与该层总数之比相等,进而得到每层抽样的人数

(i)第三组要抽样3人,在30人中抽样三人,无序即为组合数,即中抽样情况,根据题目要求“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”的事件分为两种情况①甲乙中只有甲入选,即还需要在28人中无序抽样2人,即,②甲乙中只有乙入选,即还需要在28人中无序抽样2人,即.在利用古典概型概率计算公式即可得到相应的概率

(ii)由分层抽样的结果可知6人中有两人是第四组的,即,再利用组合数算得从6人中无序抽样两人的情况数和分别有0，1，2人是第四组的情况数，即可得到相应的概率，进而得到分布列，在把三种情况的概率与其分别相乘再相加即可得到期望.

试题解析：(1)第三组的频率为0．065=0．3； 第四组的频率为0．045=0．2；第五组的频率为0．025=0．1． 3分

(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则:P(A)== 6分

(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量可能的取值为0,1,2． 7分

且，则随机变量的分布列为:

0

1

2

P

10分

12分

考点：分布列 期望 排列组合 频率分布直方图