Question

已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．

Answer

(1) (2)

【解析】

试题分析：，

(1)从圆的标准方程得到圆心的坐标即为椭圆的右顶点,即可得到a值，再由椭圆离心率、a值结合、abc之间的关系可得到b值,即得到椭圆的标准方程

(2)联立直线与椭圆方程并利用弦长公式可用斜率k表示弦长|AB|,|GH|.由对称性得到|AB|=|GH|,得到r关于k的表达式,再根据表达式可以利用函数值域求法中的换元法解得r的取值范围.

试题解析：

(1)设椭圆的焦距为2C，因为a=,,,所以椭圆C的方程为.

(2)设A,联立直线与椭圆方程得,则,又因为点M()到直线l的距离d=。所以,显然若点H也在直线AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴与已知矛盾,所以要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,所以,

当k=0时,，当k时, ,由于,综上.

考点：椭圆方程极其性质 弦长