Question

设函数

（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；

（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p的最小值．

（3）证明不等式：    

Answer

（1） （2）p的最小值为0

【解析】

试题分析：

(1)存在性问题,只需要即可,再利用导数法求解f(x)的最大值(即求导，求单调性，求极值9与端点值比较得出最值).

(2)p的最小值为函数g(x)的最小值,利用导数求函数的最小值即可(即求导，求单调性，求极值9与端点值比较得出最值).

(3)利用第二问结果可以得到与不等式有关的恒等式.令.把n=1,2,3,,得n个不等式左右相加，左边利用对数除法公式展开即可用裂项求和法得到不等式的左边,即证得原式

试题解析：

(1)依题意得

，而函数的定义域为

∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数

,即实数m的取值范围为 4分

(2) 则

显然，函数在上为减函数，在上为增函数,则函数的最小值为

所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0 8分

(3)由（2）可知： 在上恒成立

所以 ，当且仅当x=0时等号成立

令，则 代入上面不等式得：

即， 即

所以，，，，，

将以上n个等式相加即可得到： 12分

考点：导数 不等式 函数最值