Question

如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ）

A. B. C.  D.

Answer

C

【解析】

试题分析：【方法一】由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨设外层椭圆的方程为，设切线的方程为，则，

消去得，

由，

化简得，

同理可得，，

因此，所以，因此，

故椭圆的离心率为.故选C.

【方法二】椭圆在其上一点处的切点方程为，

设，，由于内外两个椭圆的离心率相同，则可设外层椭圆的方程为，则，内层椭圆在点C处的切线方程为，而AC的方程为，其斜率为，同理直线BD的方程为，其斜率为，

∴ ①，

直线AC过点，则有，

直线BD过点，则有，∴，

∴，∴，设，，

不妨设点C为第一象限内的点，则点D为第二象限内的点，则为锐角，为钝角，

则，∴，则为锐角，∴，

∴，∴，由①式得，

，∴，

∴，∴，∴，故选C.

考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的离心率；3.直线与椭圆的位置关系.