Question

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，，分别为，的中点，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）

【解析】

试题分析：本题主要考查线面位置关系的证明、二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一：利用E、F为PC、OC中点，得，由于平面，所以，利用面面垂直的判定得平面平面，因为PO为等腰三角形底边上的高，所以，由于AD是面ABCD与面PAD的交线，所以平面，又因为，所以平面，所以EF垂直面内的线AB，在中根据已知的边长可知，所以利用线面垂直的判定得平面，从而得；第二问，作出辅助线HE，AE，利用线面垂直平面ABCD，先得到面面垂直平面平面，得平面POC，所以AH垂直面内的线PC，在等腰三角形APC中，，利用线面垂直得平面AHE，则，得出为二面角的平面角，在三角形内解出的正弦值，再求；法二：第一问，要证明，只需证明，根据已知条件找出垂直关系，建立空间直角坐标系，根据边长写出各个点坐标，计算出向量和的坐标，再计算数量积；第二问，利用第一问建立的空间直角坐标系，先计算出平面PAC和平面POC的法向量，利用夹角公式直接求夹角的余弦值.

试题解析：解法一：（1）设，连接,

分别是、的中点，则，…1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面平面，

所以平面，

所以平面，

又平面，所以； 3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以. 6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，所以平面平面，

平面平面，所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，故；

所以平面，则．

所以是二面角的平面角． 10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为． 12分

解法二：

因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面平面，

所以平面． 2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

4分

，，所以． 6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得． 8分

又，，

所以平面的法向量， 10分

，

所以二面角的余弦值为． 12分

考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的判定；3.二面角的求法；4.向量法.