Question

我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

（1）求抛物线方程；

（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的定义和方程、向量的数量积、三角函数的最值等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.第一问，根据抛物线的标准方程，利用焦点坐标直接写出抛物线方程；第二问，设出，根据已知条件写出A点坐标，由于点A在抛物线上，所以将点A坐标代入到抛物线方程中，利用整理出的方程求出，同理求出，，，利用这4个边长求“蝴蝶形图案”的面积得出三角函数式，利用换元法求函数最值.

试题解析：（1）由抛物线焦点得，抛物线方程为.

（2）设，则点，

所以，，即.

解得，

同理：，，，

“蝴蝶形图案”的面积，

令，，∴，

则，∴时，即，“蝴蝶形图案”的面积为8.

考点：1.抛物线的标准方程；2.两点间距离公式；3.换元法求函数最值.