Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数满足：

①对任意的，，当时，有成立；

②对恒成立.求实数的取值范围.

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性和最值等性质等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力.第一问，对求导，求导后还无法直接判断的正负，所以再次求导，得到恒大于0，则在上单调递增，而，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；第二问，<1>由第一问函数的单调性可知，必异号，不妨设，先证明一个结论：当时，对任意的有成立，当时，对任意的有成立，构造函数，利用函数研究函数的单调性和最值证明结论，最后得出结论，当时，当且仅当时，有成立；<2>由题意分析只需即可，通过上一步的证明，得到，而在和中取得，作差比较和的大小，从而得到，代入到上式即可.

试题解析：（1），

令，则，

从而在上单调递增，即在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知，当，时，必异号，不妨设，

我们先证明一个结论：当时，对任意的有成立；

当时，对任意的有成立.

事实上，，

构造函数，，

，（当且仅当时等号成立），又，

当时，，所以在上是单调递减，，此时，对任意的有成立.当时，，所以在上是单调递增，，此时，对任意的有成立；

当时，，由于在上单调递减，所以，.同理，.

当时，当且仅当时，有成立. 8分

②时，由（1）可得，

又，所以，因此得取值范围为.

又，

构造函数，，，

所以在单调递增，又，所以，当，即，

所以.

因为，，

若要题设中的不等式恒成立，只需成立即可.

构造函数，，，

所以在上递增，又，所以，由，得，

又，所以，因此的取值范围为.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值；3.恒成立问题；4.构造函数法.