Question

如图所示，矩形中，，，，且，交于点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行的判定和性质以及三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力以及运算能力.第一问，由于为矩形，所以是中点，由于⊥平面，利用线面垂直的性质，得，而在中，，，所以是中点，所以∥，利用线面平行的判定得∥平面；第二问，因为⊥平面，所以⊥平面，利用线面垂直的性质，所以垂直面内的线，同理，⊥，利用线面垂直的判定，得⊥平面，所以利用第一问的结论得面，在中求出的长，在中求出的长，从而求出的面积，用等体积转化法求.

试题解析：(1)由题意可得是的中点，连结，

∵⊥平面，∴.而，∴是的中点， 2分

在中，，∴∥平面. 5分

(2)∵⊥平面，，∴⊥平面，则⊥.

又∵⊥平面，则⊥，又，∴⊥平面. 8分

∵∥.而⊥平面，∴⊥平面.∵是中点，是中点，

∴∥且＝＝1.∴Rt△中，， 10分

∴.∴ 12分

考点：1.线面平行的判定和性质；2.线面垂直的判定和性质；3.等体积转化法.