Question

设函数

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）的单增区间为，；单减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性和最值以及恒成立问题，考查函数思想，分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入得到具体的函数解析式，利用为增函数，为减函数，解不等式求出函数的单调区间；第二问，化简解析式，由于，所以只需恒成立即可，所以设出新函数，求导，判断的取值范围，求出函数的最小值，令最小值大于等于0，判断符合题意的的取值范围.

试题解析：（1）当时，，

2分

令得；令得

所以的单增区间为，；单减区间为 5分

（2），令， ， 7分

当时，，在上为增函数，而，从而当时，恒成立. 9分

当时，令，得.当时，，在上是减函数，而，从而当时，，即

综上，的取值范围是 12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数研究函数的最值.