Question

如图，在几何体中，，,，且，.

（I）求证:；

（II）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查几何体中的线线平行与垂直的判定、线面平行与垂直的判定，以及空间向量法求二面角等数学知识，考查空间想象能力和逻辑思维能力，考查基本计算能力.第一问，利用已知的边长，得出与相似，从而得到与垂直，利用面面垂直的性质定理得面，作出辅助线和及，通过条件可得，最后利用线面平行的判定证明平面；第二问，利用已知的垂直关系，建立如图的空间直角坐标系，写出各点的坐标，关键是求出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出余弦值.

试题解析：（I）

又 ,

过点作，垂足为，则，且， 2分

过作，交于，过作交于，连结，

∵，∴，∴四边形是平行四边形，

，

6分

（II）如图建立空间直角坐标系，则

A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），

C（1，1，），=（0，﹣2，2），=（1，﹣1，）， 8分

设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），

则有，则﹣2y+2z=0，x﹣y+z=0，

取z=2，则y=2，x=0，所以=（0，2，2）， 10分

平面AEC的一个法向量为=（﹣2，2，0）， 11分

故cos＜，＞= 12分

考点：1.相似三角形；2.线面垂直的判定；3.线面平行的判定；4.空间向量法.