Question

如图所示，ABCD是正方形，平面ABCD，E，F是AC，PC的中点.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线平行、线线垂直、线面垂直、三棱锥的体积等数学知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、转化能力和计算能力.第一问，因为是正方形，所以对角线互相垂直，在中分别是中点，利用中位线，得，因为平面，∴平面，∴垂直面内的线，利用线面垂直的判断，得平面，所以得证；第二问，因为平面，所以显然是三棱锥的高，在正方形中求出的边长及面积，从而利用等体积法将转化为，利用三棱锥的体积公式计算.

试题解析：（1）连接，

∵是正方形，是的中点，

∴ 1分

又∵分别是的中点

∴ ∥ 2分

又∵平面， ∴平面， 3分

∵平面, ∴ 4分

又∵ ∴平面 5分

又∵平面

故 6分

（2）∵平面，∴是三棱锥的高，

∵是正方形，是的中点，∴是等腰直角三角形 8分

，故, 10分

故 12分

考点：1.中位线；2.线面垂直的判断与性质；3.三棱锥的体积；4.等体积转换.